Teorema Ring dan Pembuktiannya - Contoh Soal Ring Dan Buktinya

RING - Merupakan salah satu materi matakuliah Struktur Aljabar yang tergolong susah untuk dipelajari. Belajar tentang Ring mengharuskan setiap para pembelajar untuk memiliki dasar kemampuan penalaran yang baik agar dapat dengan mudah mempelajari dan menguasai berbagai macam Teorema-Teorema Ring Dan Pembuktiannya. Nah kebetulan sekali, buat anda yang sedang memerlukan bantuan tentang pembuktian teorema-teorema ring ini, berikut ini ulasannya. Silahkan Anda simak dan pelajari dengan baik pembuktian teorema-teorema berikut ini, maka niscaya Anda akan menguasainya dalam sekejap waktu. Berhubung karena pembelajaran materi ini tergolong susah, maka berikut ini adalah Tips Sukses dalam mempelajari berbagai macam teorema.
Tips Mudah Belajar Teorema : "Banyak-Banyak Bernalar & Berpikir Logis"

Baca Juga!

➤ Kumpulan Teorema Ring Dan Pembuktiannya #Bagian 2

➤ Kumpulan Soal Ring Dan Penyelesaiannya

➤ Definisi Ring Beserta Contoh-Contohnya

Teorema Ring Dan Pembuktiannya (BAGIAN 1)

TEOREMA 1:

Diberikan R ring. Elemen nol dari R adalah tunggal.

BUKTI:

Misal x,y ∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R berlaku a+x = a dan a+y=a. Jika diambil x∈R dengan y elemen nol maka x+y=x. Jika diambil y∈R dengan x elemen nol maka y+x=y. Karena x+y = y+x maka x=y.

TEOREMA 2:

Misal R adalah ring dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang berlaku dalam R, maka:

a. z = z. a = z, "a Î R dan z elemen nol dalam R.

BUKTI:

   a . z = a . z (refleksif)                      z . a = z . a (refleksif)

     a(z+z) = a.z + z (elemen nol)       (z+z)a = z.a + z (elemen nol)

     az + az = a.z + z (distributif)          z.a + z.a = z.a + z (distributif)

     a.z = z ( hukum cancle)                  z.a = z (hukum cancle)

didapat

    a . z = z . a = a

TEOREMA 3:

–(-a) = a dan –(a + b) = (-a) + (-b), "a,b Î R

BUKTI:

-(a+b) + (a+b) = z

     (-a) + (-b) + (a+b) = (-a) + (-b) + b + a

                                     = (-a) + z + a

                                     = -a + a

                                     = z

-(a+b) + (a+b) = (-a) + (-b) + (a+b)

              -(a+b) = (-a) + (-b)

TEOREMA 4:

a(-b) = (-a) b = -(ab), "a,b Î R

BUKTI:

a(-b) = -(ab)                                  (-a)b = -(ab)

     -(ab) + (ab) = z                -(ab) + (ab) = z

      a(-b) + (ab) = a(-b + b) (-a)b + (ab) = (-a + a)b

                            = a . z                               = z. B

                            = z                                     = z

-(ab) + (ab) = a(-b) + ab     -(ab) + (ab) = (-a)b + (ab)

           -(ab) = a(-b)                           -(ab) = (-a)b

  a(-b) = (-a)b = -(ab)

TEOREMA 5:

(-a)(-b) = ab. "a,b Î R

BUKTI:

a(-b) + ab = z

       a(-b) + (-a)(-b) = (a+(-a))(-b)

                                  = z(-b)

                                  = z

a(-b) + ab = a(b) + (-a)(-b)  

             ab = (-a)(-b)

TEOREMA 6:

“ Suatu Ring adalah tidak memiliki pembagi nol jika dan hanya jika hukum Kanselasi dipenuhi (berlaku) pada Ring tersebut.”

BUKTI:

Adib :

(→) Ring TPN maka hukum Kanselasi dipenuhi

(←) Kanselasi dipenuhi maka Ringnya TPN

Jika disimbolkan :

Misal (R, *, •) adalah Ring.

(R, *, •) adalah TPN Û a • b = a • c maka b = c ; a, b, c ϵ R

(R, *, •) adalah TPN Û b • a  = c • a maka b = c ; a, b, c ϵ R

Adib :

1. (→) R adalah TPN Þ a • b  = a • c maka b = c Þ Hukum Kanselasi kiri dipenuhi

            R adalah TPN Þ b • a  = c • a maka b = c Þ Hukum Kanselasi kanan dipenuhi

     \    R adalah TPN Þ Hukum Kanselasi dipenuhi

Bukti :

Adit : a • b = a • c → b = c, dengan a ≠ I

(a • b)                     = (a • c)

(a • b) * (a • c)-1      = I......................Sifat Invers

(a • b) * (a • c-1)       = I......................Sifat ii (Teorema I)

a * (b * c-1)                 = I......................Sifat Distribusi Kiri

b * c-1                     = I......................Sifat i (Teorema I)

b                             = c

Jadi, hukum kanselasi kiri dipenuhi

Adit :

 b • a = c • a → b = c, dengan a ≠ I

(b • a)                     = (c • a)

(b • a) * (c • a)-1      = I......................Sifat Invers

(b • a) * (c-1 • a)       = I......................Sifat ii (Teorema I)

(b * c-1) * a                 = I......................Sifat Distribusi Kanan

b * c-1                     = I......................Sifat i (Teorema I)

b                             = c

Jadi, hukum kanselasi kanan dipenuhi

TEOREMA 7:

Setiap elemen dari R mempunyai negatif tunggal. (Invers penjumlahan dari setiap elemen dalam ring R adalah tunggal).

BUKTI:

Misalkan a+x = 0 dan a+y = 0 Maka a+x = a+y dengan kanselasi diperoleh x=y.

TEOREMA 8:

Hukum Kanselasi penjumlahan Jika a,b,c ∈ R maka berlaku

i). Jika a+c = b+c maka a=b

ii). Jika c+a = c+b maka a=b

BUKTI:

Akan dibuktikan untuk (i). Diberikan a+c = b+c Menurut definisi grup, untuk c∈R, ada t∈R sedemikian sehingga c+t = 0. Maka untuk a+c = b+c diperoleh (a+c)+t = (b+c)+t Tetapi (a+c)+t = a+(c+t) = a + 0 = a. Akibatnya, (b+c)+t = b+(c+t) = b+0 = b Maka a=b.

TEOREMA 9:

Jika a dan b adalah elemen dari suatu ring R, persamaan a+x=b mempunyai penyelesaian tunggal x = b-a dalam R.

BUKTI:

a+x = a +(b-a)= a+((-a)+b) = (a+(-a))+b = 0+b = b Ketunggalan dari penyelesaian tersebut ditunjukkan dengan hukum kanselasi berikut. Jika a+x = b dan a+y= b maka a+x = a+y. Mengakibatkan x=y.

TEOREMA 10:

Suatu ring mempunyai tepat satu elemen satuan.

BUKTI:

Misal e,e’∈ R sedemikian sehingga untuk setiap a∈R, berlaku

ea = ae = a ……..(1) dan juga e’a = ae’ = a ………(2) Dengan cara yang sama, dari persamaan (1) berlaku juga untuk a=e’ sehingga dipunyai ee’ = e’e = e’ ……..(3) Dan untuk a=e dari persamaan (2) diperoleh

e’e = ee’ = e ………(4) Dari persamaan (3) dan (4) menyebabkan e=e’, sehingga hanya ada satu elemen satuan.