DASAR-DASAR GRUP
Grup
merupakan struktur aljabar dengan satu operasi biner. Dalam bab ini akan
dibahas mengenai sifat-sifat atau syarat suatu grup, himpunan bagian dari Grup
yang merupakan Subgrup, serta mementukan orde suatu Grup.
Sifat-sifat Grup
Pada
bab 3, telah kita pelajari konsep semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan
satu operasi biner (grupod terhadap suatu penjumlahan atau perkalian) yang
memiliki prasyarat tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu
struktur aljuabar dengan satu operasi biner (semigrup yerhadap penjumlahan atau
perkalian)yang setiap anggotanya memiliki unsure satuan atau identitas.
Dalam
sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-syarat dasar dari
suatu grup dan mengaplikasikannya dalam contoh-contoh soal sederhana, baik itu
terhdap penjumlahan atau perkalian, adapun definisi mengnai grup adalah:
Definisi 4.1:
Suatu
monoid (G,*) dikatakan suatu grup jika setiap anggotanya memiliki unsure balikan
atau invers yaitu :
a G a-1 G sehingga a * a-1 = a-1 * a = e
Dengan
kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-syarat dari suatu
grup yaiutu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya memiliki unsure balikan
atau invers. Adapun untuk lebih jelasnya mengenai syarat-syarat suatu grup akan
dijabarkan dalam definisi berikut ini:
Definisi 4.2 :
Grupoid
(G,*) dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat-syarat:
a. Tertutup
Misalkan
a, b adalah anggota G maka a dan b tertutup bila a * b G
b. Asosiatif
Misalkan
a, b, c G maka (a * b) * c = a * (b * c)
c. Adanya unsur
satuan atau identitas
Misalkan
a G maka a * e = e * a = a
d. Adanya unsure
balikan atau invers
Misalkan
a R maka a * a-1 = a-1 * a = e = 0
Contoh 4.1:
Misalkan
G ={-1,1} adalah suatu himpunan.
Tunjukkan
bahwa G adalah suatu grup terhadap perkalian (G, .)
Penyelesaian:
Tabel 4.1
Daftar
Cayley G = {-1,1} terhadap (G,.)
. -1 1
-1 1 -1
1 -1 1
Dari
tabel 4.1 akan ditunjukkan bahwa G = {-1,1} merupakan suatu grup terhadap
perkalian (G,.), yaitu :
A. Tertutup
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
1 dan -1 G
-1
. 1 = -1
karena
hasilnya -1 G, maka tertutup terhadap G
B. Assosiatif
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
a = -1, b = -1 dan c = 1 G
(a
. b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 .1 = 1
a
. (b . c) = -1 . (-1 . 1) = -1 . -1 = 1
sehingga
(a . b) . c = a . (b . c) = 1
maka
G assosiatif
C. Adanya unsure
satuan atau identitas
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
-1 G
-1
. e = -1 . 1 = -1
e
. -1 = 1 . -1 = -1
sehingga
-1 . e = e . -1 = -1
maka
G ada unsure satuan identitas atau invers
D. Adanya unsure
balikan atau invers
Ambil
sebarang nilai dari G, misalkan -1 G
-1
. (-1)-1 = -1 . – = 1 = e
(-1)-1
. -1 = – . -1 = 1 = e
Sehingga
-1 . (-1)-1 = (-1)-1 . -1 = 1 = e
Maka
G ada unsure balikan atau invers
Jadi,
G = {-1,1} merupakan grup terhadap perkalian (G, .)
Contoh 4.2 :
Misalkan
G = {-1,1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap
penjumlahan (G, +)
Penyelesaian:
Tabel
4.2
Daftar
Cayley G = {-1,1} terhadap (G,+)
. -1 1
-1 -2 0
1 0 2
Berdasarkan
daftar Cayley tabel 4.2.
Operasi
penjumlahan himpunan G = {-1,1}menghsilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0,
2}adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1,1, maka operasi
penjumlahan G = {-1,1}tidak tertutup terhadap himpunannya.
Sehingga
G = {-1,1} adalah bukan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Contoh 4.3:
Misalkan
G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} adalh merupakan himpunan dari Z6. tunjukkan bahwa G
adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G, +).
Penyelesian:
Tabel
4.3
Daftar
cayley G ={0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap (G,+)
+ 0 1 2 3 4 5
0 0 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5 0
2 2 3 4 5 0 1
3 3 4 5 0 1 2
4 4 5 0 1 2 3
5 5 0 1 2 3 4
Dari
tabel 4.3 akan ditunjukkan bahwa G ={0, 1, 2, 3, 4, 5}merupakan suatu grup
terhdap penjumlahan (G,+), yaitu:
a. Tertutup
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
0, 1, 2, 3, 4, 5 G
1
+ 2 = 3
1
+ 3 = 4
1
+ 4 = 5
1
+ 5 = 0
karena
hasilnya 0, 3, 4, 5 G, maka tertutup terhadap G
b. Assosiatif
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
a = 2, b = 4 dan c = 5 G
(a
+ b) + c = (2 + 4) + 5 = 0 + 5 = 5
a
+ (b + c) = 2 + (4 + 5) = 2 + 3 = 5
sehingga
(a + b) + c = a + (b + c) = 5
maka
G assosiatif
c. Adanya unsur
satuan atau identitas
Ambil
sebarang nilai dari G
Misalkan
4 G
4
+ e = 4 + 0 = 4
e
+ 4 = 0 + 4 = 4
sehingga
4 + e = e + 4 = 4
maka
G ada unsure satuan identitas atau invers
d. Adanya unsur
balikan atau invers
Ambil
sebarang nilai dari G,
Misalkan
4 G
4
+ (-4) = 4 – 4 = e
(-4)
+ 4 = -4 + 4 = e
Sehingga
4 + (-4) = (-4) + 4 = 4 = e
Maka
G ada unsur balikan atau invers
Jadi, G = {0, 1, 2, 3,
4, 5} merupakan grup terhadap penjumlahan (G, +).
