Matakuliah Struktur Aljabar
a
Menuntut ilmu di perguruan tinggi bukanlah suatu hal yang mudah. Ada berbagai rintangan yang harus dihadapi dan ditempuh oleh seorang mahasiswa agar kelak menjadi sukses dan menyelesaikan studinya dengan baik. Berikut ini, penulis Ilmu Ber-Prestasi memberikan postingan (penjelasan) mengenai tugas-tugas matakuliah khususnya untuk matakuliah Struktrur Aljabar 2 - Ring Beserta Contohnya.Silahkan anda pelajari dengan baik, maka yakin dan percayalah, anda pasti bisa menguasainya.
a
Menuntut ilmu di perguruan tinggi bukanlah suatu hal yang mudah. Ada berbagai rintangan yang harus dihadapi dan ditempuh oleh seorang mahasiswa agar kelak menjadi sukses dan menyelesaikan studinya dengan baik. Berikut ini, penulis Ilmu Ber-Prestasi memberikan postingan (penjelasan) mengenai tugas-tugas matakuliah khususnya untuk matakuliah Struktrur Aljabar 2 - Ring Beserta Contohnya.Silahkan anda pelajari dengan baik, maka yakin dan percayalah, anda pasti bisa menguasainya.
A. DEFINISI RING
Ring adalah
suatu himpunan tak kosong yang mempunyai dua operasi biner, yaitu penjumlahan
dan perkalian.
Definisi 1 Definisi Ring
Misalkan R adalah
himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian (∙).
Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :
- R tertutup dibawah penjumlahan. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x + y ∈R.
- Penjumlahan pada R adalah asosiatif, yaitu x + ( y + z ) = ( x + y ) + z untuk semua x, y, z di R .
- R berisi identitas penjumlahan 0. Artinya, x + 0 = 0 + x = x , dengan x ∈ R .
- R berisi invers penjumlahan. Artinya, untuk x ∈ R , ada - x ∈ R sehingga x + ( - x ) = ( - x ) + x = 0.
- Penjumlahan pada R adalah komutatif , yaitu x + y = y + x untuk semua x, y di R .
- R tertutup dibawah perkalian. Artinya, ada x ∈ R dan y ∈ R sehingga x ∙ y ∈ R .
- Perkalian pada R adalah asosiatif. Artinya, x ∙ ( y ∙ z ) = ( x ∙ y ) ∙ z untuk semua x, y, z di R .
- Dua hukum distributif berlaku pada R, yaitu :
- x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
- ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .
Ingat : Bedakan R (
bilangan real ) dengan R ( ring ).
Definisi 2 Definisi Alternatif dari Ring
Misalkan R adalah
himpunan tak kosong dengan operasi penjumlahan ( + ) dan perkalian ( ∙ ).
Maka R adalah ring jika kondisi berikut terpenuhi :
- R membentuk grup abelian ( grup komutatif ) terhadap penjumlahan.
- R tertutup tehadap perkalian asosiatif.
- Dua hukum distributif berlaku pada R , yaitu :
- x ∙ ( y + z ) = x ∙ y + x ∙ z dan
- ( x + y ) ∙ z = x ∙ z + y ∙ z
untuk semua x, y, z di R .
CONTOH RING DAN PEMBUKTIAN ATAU
PENYELESAIANNYA
Contoh 1 :
Tunjukan bahwa jika U ideal dari Ring
komutatif memuat unit dari R, maka U=R.
Jawab :
Misal u unit dalam U, maka ada r di R sehingga ur =1 di U.ambil sebarang r di R
& 1 di U maka 1.r = r ada di U. Jadi R bagian dari U. maka U=R.
Contoh 2 :
Tunjukan bahwa unit-unit dari Ring
komutatif dengan unsur satuan membentuk grup abelian.
Jawab
:
Misalkan
A= {u| u unit dalam R}. adit A suatu grup abelian.
a). A takkosong sebab ada 1 di R sehingga 1.1=1 unsur di A.
b). Ambil sebarang u1,u2 di A adit u1u2 di A. perhatikan : u1,u2 di A, maka ada r1,r2 di A sehingga u1r1=1=u2r2 .perhat:u1u2(r1r2) = u1r1.u2r3=1, ini berarti u1u2 di A.
c). A komutatif mengikuti R.
d). Ambil sebarang u1 di A, adit t adalah invers dari u1 di A. perhatikan u1 unit di R, maka ada r di R sehingga u1r = 1 = ru1. ini berarti r =t.
Jadi A grup abelian.
a). A takkosong sebab ada 1 di R sehingga 1.1=1 unsur di A.
b). Ambil sebarang u1,u2 di A adit u1u2 di A. perhatikan : u1,u2 di A, maka ada r1,r2 di A sehingga u1r1=1=u2r2 .perhat:u1u2(r1r2) = u1r1.u2r3=1, ini berarti u1u2 di A.
c). A komutatif mengikuti R.
d). Ambil sebarang u1 di A, adit t adalah invers dari u1 di A. perhatikan u1 unit di R, maka ada r di R sehingga u1r = 1 = ru1. ini berarti r =t.
Jadi A grup abelian.
Contoh 3 :
Misalkan
suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan
bulat
positif, didefinisikan x * y = |x – y| bila x ¹ y dan x * x = x untuk
setiap
x,y Î Z+. Tunjukan apakah operasi binernya tertutup, komutatif dan
assosiatif.
Jawab
:
- Tertutup
Misalkan
x = 2 dan y = 3,
x
* y = 2 * 3 = 1
x
* x = 2 * 2 = 2
x
* y dan x * x tertutup tehadap Z+, sehingga x, y Î Z+
2. Komutatif
x,
y Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x
* y = 2 * 3 = |2 – 3| = 1
y
* x = 3 * 2 = |3 – 2| = 1
x
* y = y * x komutatif
3. Assosiatif
x,
y, z Î Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x
* y) * z = (2 * 3) * 4 = |2 – 3| * 4 = |1 – 4| = 3
x
* (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * |3 – 4| = |2 – 1| = 1
(x
* y) * z ¹ x * (y * z) tidak assosiatif
Contoh 4 :
Dalam ring komutatif dengan unsur
satuan, tunjukan bahwa relasi kesekawanan adalah relasi
eqivalen.
Jawab :
a
~a sebab ada 1 di R sehingga a=1.a, 1 unit dalam R karena 1.1=1
misal a~b, maka b=u.a, ini berarti ada r di R sehingga ur = 1. Jadi rb=ru.a=1.a=a. Ini berarti b~a.
Misal a~b dan b~c, maka b=u1a & c=u2b, maka ada s,t di R sehingga u1.s=1=u2.t, sehingga c=u2b=u2u1a, u2u1 suatu unit dalam R sebab ada st di R sehingga u1u2.st=1. Ini berarti a~c. Dengan demikian maka relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
misal a~b, maka b=u.a, ini berarti ada r di R sehingga ur = 1. Jadi rb=ru.a=1.a=a. Ini berarti b~a.
Misal a~b dan b~c, maka b=u1a & c=u2b, maka ada s,t di R sehingga u1.s=1=u2.t, sehingga c=u2b=u2u1a, u2u1 suatu unit dalam R sebab ada st di R sehingga u1u2.st=1. Ini berarti a~c. Dengan demikian maka relasi kesekawanan adalah relasi eqivalen.
Contoh 5 :
Berikut
adalah beberapa contoh ring :
- Himpunan Z ( himpunan semua bilangan bulat ).
- Himpunan Q ( himpunan semua bilangan rasional ).
- Himpunan R ( himpunan semua bilangan real ).
- Himpunan C ( himpunan semua bilangan kompleks ).
Baca Juga Postingan Lain Dari Blog Ini !!
Kumpulan Critical Book Report [Tersedia >50 Jenis CBR]
Critical Journal Report [Tersedia > 40 Jenis]
Contoh Laporan Mini Riset [Tersedia >25 Jenis]
Kumpulan Makalah Berbagai Jenis Tema [Tersedia >100 Jenis]
