GROUP
Bila suatu grup memenuhi sifat
komutatif, dimana a* b = b * a, maka grup tersebut dinamakan grup komutatif
atau grup abelian. Adapun definisinya adalah sebagai berikut:
Definisi 4.3 :
Suatu grupoid (G,*) dikatakan grup
komutatif (grup abelian) jika memenuhi syarat-syarat :
a. Tertutup
Misalkan a, b adalah anggota G maka
a dan b tertutup bila a * b G
b. Asosiatif
Misalkan a, b, c G maka (a * b) *
c = a * (b * c)
c. Adanya unsur
satuan atau identitas
Misalkan a G maka a * e = e * a =
a
d. Adanya unsure
balikan atau invers
Misalkan a G maka a * a-1 = a-1 *
a = e
e. Komutatif
Misalkan a, b G maka a * b = b * a
Contoh 4.4:
Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa G =
{-1,1} adalah suatu grup komutatif terhadap perkalian (G,.).
Penyelesaian:
Dari contoh 4.1 telah ditunjukkan
bahwa G = {-1,1} adalah suatu grup terhadap perkalian (G,.).
Sekarang akan ditunjukkan sifat
komutatif dari grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G :
Misalkan 1 dan -1 G (pada tabel
4.1)
-1 . 1 = -1
1 . -1 = -1
sehingga -1 . 1 = 1 . -1 = -1
karena grup tersebut memnuhi sifat
komutatif, maka grup tersebut adaloah grup komutatif atau grupabelian terhadap
perkalian (G,.).
Contoh 4.5:
Dari contoh 4.3 tunjukkan bahwa G =
{0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup komutatif terhadap penjumlahan (G.+).
Penyelesaian:
Dari contoh 4.3 telah ditunjukkan
bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu grup terhadap penjumlahan (G,+).
Sekarang akan ditunjukkan
sifatkomutatif dari grup tersebut.
Ambil sebarang nilai dari G,
misalkan 1 dan 5 G (pada tabel 4.3)
1 + 5 = 0
5 + 1 = 0
sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0
karena grup tersebut memnuhi sifat
komutatif, maka grup tersebut adalah grup komutatif atau grup abelian terhadap
penjumlahan (G,+)
Ada beberapa sifat dari suatu grup,
yang akan dijelaskan dalam teorema berikut ini:
Teorema 4.1
Misalkan (G, .) adalah suatu grup,
maka:
a. Jika a G maka (a-1)-1 = a
b. Jika a, b G maka (ab)-1 =
b-1a-1
Bukti:
1. Dari sifat unsur satuan atau
identitas, diketahui a-1 . a = e = a . a-1, maka dapat dikatakan bahwa a unsure
balikan dari a-1 . dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (a-1)-1 = a
2. (ab) (b-1a-1) = ((ab)b-1)a-1 =
(a(bb-1))a-1 = (ae)a-1 = aa-1 = e
Dengan cara yang sama didapat :
(b-1a-1) (ab) = b-1(a-1(ab)) =
b-1((a-1a)b) = b-1(eb) = b-1b = e
Sehingga dengan sifat ketunggalan
balikan, didapat (ab)-1 = b-1a-1
Dalam operasi penjumlahan (+),
teorema tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
Teorema 4.2:
Misalkan (G,+) adalah suatu grup,
maka:
a. Jika a G, maka -(-a) = a
b. Jika a, b G, maka -(a+b) = (-a)
+ (-b)
Teorema 4.3:
Misalkan (G,.)adalah suatuu grup dan
a, b, x G, maka:
a. Jika xa = xb, maka a = b
(penghapusan kiri)
b. Jika ax = bx, maka a = b
(penghapusan kanan)
Bukti:
a. Misalkan xa = xb
Maka: x-1(xa) = x-1(xb)
(x-1x) a = (x-1x) b
ea = eb
Sehingga : a = b (penghapusan kiri)
b. Misalkan ax = bx
Maka: (ax)x-1 = (bx)x-1
a (x-1x) = b (x-1x)
ae = be
Sehingga : a = b (penghapusan kanan)
Dalam operasi penjumlahan (+),
teorema 4.3 dapat ditulis sebagai berikut:
Teorema 4.4:
Misalkan (G,+)adalah suatuu grup dan
a, b, x G, maka:
a. Jika x + a = x + b, maka a = b
(penghapusan kiri)
b. Jika a + x = b + x, maka a = b
(penghapusan kanan)
a. Sub Grup
Pada sub pokok bahasan ini akan
diperkenalkan subgroup yang merupakan bagian dari grup. Secara harfiah subgroup
dapat diartikan sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari grup.
Adapun definisinya adalah sebagai berikut:
Definisi 4.5:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan
H G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu grup
terhadap operasi yang ada dalam (G,*).
Dari definisi tersebut dapat
diartikan bahwa untuk membuktikan bahwa (H,*) adalah subgroup dari grup (G,*),
harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Harus ditunjukkan bahwa H G
b. harus ditunjukkan bahwa (H,*)
merupakan suatu grup
Contoh 4.6:
Dari contoh 4.1, tunjukkan bahwa H =
{1} adalah merupakan subgroup dari G = {-1,1} terhadap perkalian (G, .).
Penyelesian:
H = {1} merupakan himpunan bagian
dari G = {-1,1}sehingga H G.
Dari tabel 4.1, akan ditunjukkan H =
{1} memenuhi syarat-syarat suatu grup:
a. Tertutup
Misalkan 1 H dan 1 . 1 = 1
karena hasilnya 1 H, maka tertutup
terhadap H
b. Assosiatif
Misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1 H
(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 .1 = 1
a . (b . c) = 1 . (1 . 1) = 1 . 1 =
1
sehingga (a . b) . c = a . (b . c) =
1 maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau
identitas
Misalkan 1 H
1 . e = 1 . 1 = 1
e . 1 = 1 . 1 = 1
sehingga -1 . e = e . -1 = -1
maka H ada unsur satuan identitas
atau invers
d. Adanya unsur balikan atau invers
Misalkan 1 H
1 . (1)-1 = 1 . = 1 = e
(1)-1 . 1 = . 1 = 1 = e
Sehingga 1 . (1)-1 = (1)-1 . 1 = 1 =
e, maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat
suatu grup, sehingga (H, .) merupakan subgroup dari (G, .).
Contoh 4.7:
Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H =
{0, 2, 4} adalah merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhdap
penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
H = {0, 2, 4} adalah merupakan
subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} sehingga H G.
Dari tabel 4.3. akan ditunjukkan H =
{0, 2, 4}memenuhi syarat-syarat suatu grup:
a. Tertutup
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 0, 2, 4 H
0 + 0 = 0
0 + 2 = 2
0 + 4 = 4
2 + 2 = 4
2 + 4 = 0
4 + 4 = 2
karena hasilnya 0, 2, 4 H, maka
tertutup terhadap H
b. Assosiatif
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan a = 2, b = 2 dan c = 4 H
(a + b) + c = (2 + 2) + 4 = 4 + 4 =
2
a + (b + c) = 2 + (2 + 4) = 2 + 0 =
2
sehingga (a . b) . c = a . (b . c) =
2 maka H assosiatif
c. Adanya unsur satuan atau
identitas
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 4 H
4 + e = 4 + 0 = 4
e + 4 = 0 + 4 = 4
sehingga 4 + e = e + 4 = 4
maka H ada unsur satuan identitas
atau invers
d. Adanya unsur balikan atau invers
Ambil sebarang nilai dari H
Misalkan 4 H
4 + (-4) = 4 – 4 = 0 = e
(-4) + 4 = -4 + 4 = 0 = e
Sehingga 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0 =
e, maka G ada unsur balikan atau invers
Jadi, H = {0, 2, 4} memenuhi
syarat-syarat suatu grup, sehingga (H, +) merupakan subgroup dari (G, +).
Contoh 4.8:
Dari contoh 4.3, tunjukkan bahwa H =
{1, 2, 3} adalah bukan merupakan subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} terhadap
penjumlahan (G, +).
Penyelesaian:
H = {1, 2, 3} adalah bukan merupakan
subgroup dari G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, sehingga H G.
Akan ditunjukkan bahwa H = {1, 2, 3}
memenuhi syarat-syarat suatu grup:
Ambil sebarang nilai dari H misalkan
2, 3 H
Dari tabel 4.3. didapat : 2 + 3 = 5
5 G tetapi 5 H, sehingga lima
tidak tertutup terhadap operasi biner (H,+) maka bukan merupakan subgroup dari
G = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
Contoh 4.9:
G = {-1,1} adalah subgroup dari (Z,
.), tetapi bukan merupakan subgroup dari (Z,+) karena operasi di Z dan di G =
{-1.1} tidak sama.
b. Orde suatu
Grup
Misalkan G adalah suatu grup dan a
G,a merupakan unsure atau anggota atau elemen dari grup. Unsur dari grup ini
dapat membentuk atau membangun suatu grup, jumlah dari unsure suatu grup atau
subgroup tersebut disebut orde.
Definisi 4.6:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup.
Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup (G,*),
dilambangkan dengan G. (G,*) disebut grup hingga bila G terhingga (finite)
dan disebut grup tak hingga bila G tah hingga.
Definisi4.7:
Orde dari suatu unsur a dalam suatu
grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an = e
(e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada
bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.
Contoh 4.10:
Orde dari grup (Z,+) dan (Z, .)
adalah tak hingga.
Contoh 4.11:
Orde dari grup G = {0, 1, 2, 3, 4,
5} adalah 6 dan orde dari subgroup H = {0, 2, 4}adalah 3.
Contoh 4.12:
Tentukan subgroup dari Grup (Z4,+)
dan tentukan orde masing-masing subgroup.
Penyelesaian:
Grup Z4 = {0, 1, 2, 3} orde dari
Z4= 4
Subgroup dari unsure-unsur Z4
adalah:
Missal n = 0, 1, 2, 3 dan Ha = {na,
n Z4}
a = 0
H0 = {0}
Sehingga H0= 1
a = 1
H1 = {1, 2, 3, 0}
Sehingga H0= 4
a = 2
H2 = {2, 0}
Sehingga H2= 2
a = 3
H3 = {3, 2, 1, 0}
Sehingga H3= 4
4.4 Rangkuman
a. Grupid (G,*) dikatakan suatu grup
jika memenuhi syarat-syarat:
a. Tertutup
b. Asosiatif
c. Adanya unsur satuan atau
identitas
d. Adanya unsur balikan atau invers
2. Suatu Grup dikatakan grup
komutatif atau grup abelian jika memenuhi syarat-syarat dari grup dan mempunyai
sifat komutatif.
3. (H,*) adalah subgroup dari grup
(G,*), harus melalui langkah-langkah sebagai berikut:
a. Harus ditunjukkan bahwa H G
b. harus ditunjukkan bahwa (H,*)
merupakan suatu grup
Dengan kata lain, (G,*) adalah suatu
grup dan H G. (H,*) dikatakan subgroup dari (G,*), jika (H,*) adalah suatu
grup terhadap operasi yang ada dalam (G,*).
4. Misalkan (G,*) adalah suatu grup.
Banyaknya unsure-unsur dari grup (G,*) disebut orde dari grup (G,*),
dilambangkan dengan G. (G,*) disebut grup hingga bila G terhingga (finite)
dan disebut grup tak hingga bila G tah hingga.
5. Orde dari suatu unsur a dalam
suatu grup (G,*) adalah bilangan bulat positif terkecil n, sedemikian hingga an
= e (e = 1, untuk perkalian) na = e (e = 1, untuk penjumlahan). Bila tidak ada
bilangan seperti n tersebut, maka orde dari unsur tersebut tak hingga.
