OPERASI PADA HIMPUNAN
Himpunan
Secara harafiah himpunan mengandung
pengertian sebgai suatu kumpulan atau koleksi / gabungan dari objek-objek.
Objek-objek ini baisa disebut anggota atau unsur atau elemen dari himpunan
tersebut. Jadi himpunan dapat didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek dengan
suatu sifat/ciri tertentu, dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu
objek yang mempunyai ciri dan karakteristik yang sama. Suatu himpunan biasa
dinotasikandengan menggunakan huruf besar/kapital, misalkan A,B,C….. , X, Y, Z,
sedangkan unsur-unsur atau anggota-anggota dinotasikan dengan huruf kecil,
misalkan a,b,c,k, …..
Misalkan suatu x menyatakan anggota
dari himpunan A maka dinotasikan dengan “x A” dan misalkan y menyatakan bukan
anggota dari himpunan A maka dinotasikan “y A”. Sedangkan himpunan yang tidak
mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dan dinotasikan dengan
Contoh 1.1 :
misalkan + adalah himpunan semua
bilangan akhir bulat positif, ditulis Z+ = {0,1,2,3,….}, maka 2 Z+ tetapi -1 Z+
Contoh 1.2 :
Misalkan 2Z+ = {0,2,4,6, …. }, maka
2 Z+ tetapi 3 Z+
Definisi 1.1 :
Suatu himpunan A dikatakan merupakan
himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota dari himpunan A merupakan
anggota dari himpunan B, yang dilambangkan dengan A
Definisi
1.2 :
Suatu himpunan A dikatakan merupakan
himpunan bigian sejati (proper subset) dari himpunan B, jika A dan terdapat
sedikitnya satu unsur dari B yang bukan anggota dari A, yang dilambangkan
dengan A
Dengan kata lain, A artinya A tetapi
B bukan merupakan himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan A bisa juga
diartikan A jika dan hanya jika A dimana A ≠ B(A A dimana A≠ B).
Himpunan
Bagian dan Himpunan Bagian Sejati
Contoh 1.3:
Tunjukkan bahwa himpunan bilangn
asli N merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan bilangan bulat Z,
himpunan bilangan bulat Z merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan
bilangan rasional Q dan himpunan bilangan rasional Q merupakan bagian sejati
dari himpunan bilangan real R.
Penyelesaian :
N = (himpunan bilangan asli) = {1,2,3 ….}
Z = (himpunan bilangan bulat) = {…,
-2,-1,0,1,2, … }
Q = {himpunan bilangan rasional} = {
…,2,-1,5,-1,-0,5,0,0,5,1,…}
R = {himpunan bilangan real} = {
…,-2,-1,5,-1,-1/2,-1/4,0,0,25, ½, …}
Disini akan ditunjukkan bahwa N, Z,
Z Q, dan Q R, sehingga N Z Q R.
Himpunan
Bagian Sejati dari Sistem Bilangan Real
Definisi 1.3 :
A gabungan B ditulis dengan A B
adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A atau anggota B,
disimbolkan dengan A B ={x A dan x B}.
Definisi 14 :
A irisan B, ditulis dengan A B
adalah himpunan yang semua anggotanya merupakan anggota A, sekaligus anggota B,
disimbolkan dengan A B = {x A dan x B}.
Definisi 15 :
Komplemen dari suatu himpunan A
adalah himpunan anggota-anggota x dengan x € A, yang dinyatakan dengan Ac.
Contoh 14 :
Himpunan A = {a,b,c,d,e,f} dari
himpunan B = {d,e,f,g}, maka
A B = {d,e,f} dan A B =
{a,b,c,d,e,f,g}.
Dari definisi-defini yang ada
diperoleh sifat-sifat dari himpunan, sebagai berikut:
Teorema 1.1 :
Untuk sebarang dua himpunan A dan B
diperoleh :
A A B = A
A A B = B
Bukti :
Harus dibuktikan A A B = A dan A B
= A dan A B = A A
a. A
A B = A.
Misalkan x € A dan x € B, maka x € A
B
A B dan A B B, maka A= A B
b. A B = AA B
misalkan x € A dan x € B
x € A B = A maka A B B sehingga A B.
Dari persamaan a dan b, terbukti
bahwa A B = B A B.
(ii) Harus
dibuktikan A B A B = B dan A B = B A B
a). A
B A B = B
Misalkan x A, atau B, maka x
keduanya.
x A A B, x A atau x B maka B = A B
b). A
B A B
Misalkan x € A atau € B, sehingga A
B
Dari persamaan a dan b, terbukti
bahwa A B A B = B
Teorema 1.2 :
Untuk sebarang tiga himpunan A,B dan
C diperoleh :
A (B C) = (A B) (A C)
Bukti :
Yang perlu dibuktikan dari A (B C) =
(A B) (A C) adalah :
a. A
(B C) = (A B) (A C)
Misalkan x A dan x B, x C.
x A (B C)
x A dan x (B C)
x A dan {x B atau x C)
(x A dan x B) atau (x A dan x C)
x (A B) atau x (A C)
x (A B) (A C)
sehingga A (B C) (A B) (A C)
b. (A
B) (A C) A (B C)
Misalkan x A dan x B, x C
x (A B) (A C)
x (A B) atau x (A C)
( x A dan x B)atau (x A dan x C)
x A dan (x B atau x C)
x A dan x (B C)
x A (B C)
sehingga (A B) (A C) A (B C)
dari persamaan a dan b, terbukti
bahwa (A B) (A C) A (B C)
Definisi 1.6:
Selisih himpunan A dan B adalah A-B
= {x l x A dan x Bc}
Diagram Venn
suatu selisih dari dua himpunan
Jika himpunan A mempunyai n unsur
maka ditulis lAl = n. Jika dua himpunan A dan B masing-masing mempunyai n dan m
unsur, mkaa ditulis lAl = n dan lBl = m.
Teorema 1.3 :
Untuk dua himpunan A dan B yang
mempunyai masing-masing n dan m unsur, maka lA Bl = lAl + lBl – lA Bl = n + m –
lA Bl
Definisi 1.7
Himpunan kuasa (power set) dari A
adalah himpunan yang terdiri dari himpunan bagian dari A. Banyaknya anggota
himpunan kuasa dari himpunan yang mempunyai n anggota (n bilangan bulat) adalah
2”
Contoh 1.7 :
Himpunan kuasa ( power set) dari A=
{a,b,c} adalah 23 = 8 yaitu { , {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.
Jika suatu himpunan semua anggotanya
adalah himpunan disebut keluarga (family) atau koleksi himpunan dinotasikan
dengan huruf cantik.
Contoh 1.8 :
Misalkan Rt = {1,2}, R2, = {1,4}, R3
= {1,2,3} maka keluarga (koleksi) dari himpunan tersebut adalah R = {R1,R2,R3}
Suatu himpunan semesta bisa
dinotasikan dengan S, yiatu himpunan yang anggotanya adalah anggota dari semua
himpunan yang dibicarakan.
Definisi 18 :
Misalkan R suatu keluarga (koleksi),
himpunan tak kosong, maka :
Gabungan
himpunan-himpunan di R adalah himpunan yang didefinisikan dengan :
untuk
suatu
Himpunan ini memuat semua anggota
(di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .
Irisan
himpunan-himpunan di adalah himpunan yang menjadi anggota dari sebarang satu
himpunan di .
untuk suatu
Himpunan ini memuat semua anggota
(di S) yang menjadi anggota dari sebarang satu himpunan di .
Contoh 1.9 :
Misalkan = {R1,R2,R3} adalah
keluarga ( koleksi ) dari himpunan seperti pada contoh 8, maka :
a. = {1,2,3,4}
b. = {1}
1.2 Relasi
Definisi 1.9 :
Misalkan A dan B merupakan dua
himpunan tak kosong, maka suatu relasi T biner dari A ke B adalah suatu
himpunan bagian dari AxB, jika A=B, maka T disebut Relasi biner pada A.
Contoh 1.10 :
Relasi < pada himpunan A =
{a,b,c} adalah himpunan {(a,b), (a,c), (b,c)} dan relasi ≤ pada A adalah
{(a,a), (a,b), (a,c), (b,b), (b,c), (c,c)}
Bila T suatu relasi pada A maka
(a,b) T, ditulis dengan aTb.
Definisi 1.10 :
Misalkan T suatu relasi pada A maka
T disebut :
a. Refleksi jika aTa berlaku
b. Simetris jika aTb maka bTa
berlaku
c. Transitif jika aTb dan bTc, maka
aTc berlaku
d. Trikotomi jika tepat salah satu
berlaku :
aTb atau a = b atau bTa
dari definisi didapatkan :
T disebut relasi ekuivalen pada A,
jika T repleksif, simetris, dan transitif.
T disebut relasi berurut parsial
pada A jika T refleksif, anti simetris, dan transitif.
T disebut relasi terurut total
jika T transitif dan trikotomi.
Contoh 1.11 :
Kesamaan merupakan suatu relasi
ekuivalen pada sebarang himpunan.
Contoh 1.22 :
Kesebangunan adalah suatu relasi
ekivalen pada himpunan semua segitiga.
Contoh 1.13 :
< adalah suatu relasi terurut
total pada himpunan semua bilangan rel (rasional, bulat, asli).
1.3 Pemetaan
Definisi 1.11 :
Misalkan A,B himpunan tak kosong,
fungsi atau pemetaan dari A ke B adalah suatu himpunan bagian f dari A x B
demikian sehingga untuk setiap a A terdapat satu b B dengan (a,b) f. Himpunan A
disebut daerah asal (domain) dari f dan himpunan B disebut daerah kawan
(kodomain).
Dengan kata lain, misalkan A, B
suatu himpunan tak kosong. Suatu pengaitan f dari A ke B disebut pemetaan atau
fungsi jika :
1. Untuk setiap a A terdapat b B
sehingga f(a) = b
2. Untuk sebarang a1,a2 A dengan a1,
= a2 maka f(a1) = f(a2).
Contoh 1.15 :
Jika A,B R didefinisikan A = {x l 1
≤ x ≤ 4} = {1, 2, 3, 4} dan B = { x l 2 ≤ x ≤ 3} = {2,3}. Tunjukan bahwa A x B
≠ B x A !
Penyelesaian :
Relasi terhadap A x B = {(1,2),
(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,2), (4,3)}
Relasi terhadap B x A = {(2,1,
(2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4)}
Definisi 1.12 :
Misalkan A, B himpunan tak kosong.
1. suatu
pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan 1 – 1 (injektif) jika untuk sebarang
a1, a2, A dengan f(a1) = f(a2) maka a1 = a2.
2. suatu
pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan onto / pada (surjektif) jika untuk
setiap b B terdapat a A sehingga f(a) = b.
3. suatu
pemetaan f dari A ke B disebut pemetaan bijektif (korespondensi 1 -1) jika f
pemetaan 1- 1 (injektif) dan onto/pada (surjektif).
Definisi 1.13:
Misalkan f, g : A B, suatu fungsi
f dikatakan sama dengan g ditulis f = g jika f(a),
Jika A, B, dan C himpunan dan f : A
B, g : B C fungsi, maka g o f : A C adalah fungsi yang didefinisikan
dengan (g o f) (a) = g(f(a)) untuk setiap . fungsi g o f ini disebut komposisi
dari f dan g.
Teorema 1.4 :
Komposisi fungsi adalah assosiatif
yaitu jika f : A B, g : B C dan h : C D fungsi, maka h o (g o f) = (h o
g) o f
Bukti :
Misalkan , maka
h o (g o f) (a) = (h
o g) o f (a)
h((g o f) (a)) = (h
o g) (f(a))]
h(g(f(a))) = h(g(f(a)))
Definisi 1.14 :
Misalkan f : A B suatu fungsi.
Fungsi g : B A disebut :
1. Balikan kiri dari f jika g o f =
iA
2. balikan kanan dari f jika f o g =
iB
3. balikan dari f jika g balikan
kiri sekaligus balikan kanan dari f, yaitu g o f = iA dan f o g = iB. Bila A =
B maka dapat disingkat g o f = iA = f o g.
Contoh 1.16 :
Misalkan f : Z 3Z dengan f(x) =
3x. dan g : Z 3Z dengan g(x) = , . Tunjukan bahwa g balikan kiri dan juga
balikan kanan dari f :
Penyelesaian :
(g o f) (x) = g(f(x)) = g(3x) = x =
iz, menunjukan bahwa g adalah balikan kiri dari f.
(f o g) (x) = f(g(x)) = f = x = i3Z
menunjukkan bahwa g adalah balikan kanan dari f.
Dikarenakan g o f = iZ dan f o g =
i3Z maka g saling berbalikan dengan f.
Definisi 1.15 :
Misalkan A dan B suatu himpunan tak
kosong, himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika dan hanya terdapat f : A B
fungsi korespondensi 1-1.
Contoh 1.17 :
Himpunan Z dan 3Z adalah ekuivalen,
karean terdapat pengaitan f(n) = 3n untuk n yang mendefinisikan fungsi
korespondensi 1 – 1.
Definisi 1.16:
Misalkan A suatu himpunan tak
kosong. Himpunan A dikatakan hingga (finite). Jika terdapat n bilangan bulat
positif demikian sehingga A dan {1, 2, 3, …, n} adalah ekuivalen. Sedangkan
himpunan A dikatakan tak hingga (infinite) jika A dan {1, 2, 3, …, n} tidak
ekuivalen untuk setiap n bilangan bulat positif.
Contoh 1.18 :
Misalkan H adalah himpunan semua
bilangan bulat positif yang kuran dari 30, maka G adalah suatu himpunan hingga.
Baca Juga Postingan Lain Dari Blog Ini !!
Kumpulan Critical Book Report [Tersedia >50 Jenis CBR]
Critical Journal Report [Tersedia > 40 Jenis]
Contoh Laporan Mini Riset [Tersedia >25 Jenis]
Kumpulan Makalah Berbagai Jenis Tema [Tersedia >100 Jenis]
