RING
- Merupakan salah satu materi matakuliah Struktur Aljabar yang
tergolong susah untuk dipelajari. Belajar tentang Ring mengharuskan
setiap para pembelajar untuk memiliki dasar kemampuan penalaran yang
baik agar dapat dengan mudah mempelajari dan menguasai berbagai macam Teorema-Teorema Ring Dan Pembuktiannya.
Nah kebetulan sekali, buat anda yang sedang memerlukan bantuan tentang
pembuktian teorema-teorema ring ini, berikut ini ulasannya. Silahkan Anda simak dan pelajari dengan baik pembuktian teorema-teorema berikut ini, maka niscaya Anda akan menguasainya dalam sekejap waktu. Berhubung karena pembelajaran materi ini tergolong susah, maka berikut ini adalah Tips Sukses dalam mempelajari berbagai macam teorema.
Tips Mudah Belajar Teorema : "Banyak-Banyak Bernalar & Berpikir Logis"
Tips Mudah Belajar Teorema : "Banyak-Banyak Bernalar & Berpikir Logis"
Teorema Ring Dan Pembuktiannya (BAGIAN 2)
TEOREMA 11:
Jika
a elemen ring R dengan elemen satuan e mempunyai invers perkalian, maka invers
perkalian tersebut tunggal.
BUKTI:
Misalkan
bahwa s dan t adalah invers perkalian dari elemen a. Maka,dari definisi sa = e
dan hukum asosiatif dari perkalian, maka
s(at)
= (sa)t = et = t. Karena at = e, maka s(at) = se = s. Jadi s = t.
TEOREMA 12:
Untuk
setiap elemen a dari suatu ring R, dipunyai a.0 = 0.a = 0
BUKTI:
Karena
a+0 = a, maka a(a+0) = a.a Dari hukum distributif didapat a(a+0) = a.a + a.0
Sehingga a.a + a.0 = a.a. Dengan kanselasi maka a.0 = 0.
TEOREMA 13:
Diberikan
R ring, 0 elemen nol dari R dan a,b,c ∈R.
i). a(-b)= (-a)b = -(ab)
ii).
(-a)(-b) = ab
iii).
a(b-c) = ab – ac dan (a-b)c = ac – bc
BUKTI:
i).
Diberikan a(b+(-b)) = a.0 = 0……(1)
Dengan
hukum distributif, diperoleh a(b+(-b)) = ab + a(-b) ……..(2) Dari (1) dan (2)
diperoleh ab + a(-b) = 0.
Karena
ab mempunyai invers penjumlahan tunggal yaitu –(ab) maka a(-b) = -(ab). Dengan
cara yang sama dapat dibuktikan (-a)b = -(ab).
ii).
Dengan menggunakan teorema sebelumnya, maka:
(-a)(-b)
= -(a(-b)) = -(-(ab)) Karena ab adalah invers penjumlahan dari –(ab) maka
–(-(ab)) = ab.
iii).
Perhatikan bahwa b-c adalah notasi untuk b+(-c).
Dengan
menggunakan teorema sebelumnya dan hukum distributif maka diperoleh a(b-c) =
a(b+(-c)) = ab+a(-c) = ab + -(ac) = ab-ac Dengan cara yang sama, dapat
dibuktikan untuk (a-b)c = ac – bc.
TEOREMA 14:
(←)
Hukum Kanselasi kiri dipenuhi Þ a • b =
a • c maka b = c Þ R adalah TPN
Hukum Kanselasi kanan dipenuhi Þ b
• a = c • a maka b = c Þ R adalah TPN
Hukum Kanselasi dipenuhi Þ R adalah TPN
BUKTI:
Misal
(R, *, •) adalah Ring berlaku hukum Kanselasi ; a, b ϵ R dan a • b = I
Adit
: Ring (R, *, •) TPN
a • b = I Þ a = I atau b = I
a
≠ I → a • b = I
a • b = a •
I........................... Sifat i
b =
I...................................Hukum Kanselasi kiri
dipenuhi
b
≠ I → a • b = I
a • b = I •
b..............................Sifat i
a =
I....................................
Hukum Kanselasi
kanan dipenuhi
Karena
a • b = I maka a = I atau b = I. Akibatnya R adalah ring TPN.
TEOREMA 15:
“Suatu
field tidak memiliki pembagi nol.”
BUKTI:
Field adalah Ring Komutatif dan memiliki elemen satuan terhadap operasi
kedua dan setiap unsur memiliki invers
terhadap operasi kedua kecuali unsur identitas operasi pertama.
Misal :
(R,
*, •) adalah field maka (R, *, •) adalah Ring Komutatif dan I adalah identitas • dan a ϵ R, a ≠ I
maka ada a-1 ϵ R sehingga a • a-1 = a-1 • a = i
Adit
: R (R, *, •) TPN
Maka misal: a, b ϵ R dan a • b = I Þ a = I atau b = I
Untuk
setiap a ϵ R, a ≠ I maka a-1 ϵ R, sehingga
a
• a-1 = a-1 • a = i.
Maka :
a
• b = I
a-1
• (a • b ) = a-1 •
I..................Dioperasikan dengan a invers
(a-1
• a) • b ) = a-1 •
I..................Sifat Asosiatif
i
• b = a-1 •
I..................Sifat Identitas
i
• b =
I.........................Sifat i (Teorema 1)
b =
I.........................Sifat i (Teorema 1)
Sehingga
a ≠ I dan a • b = I maka b = I
Selanjutnya,
untuk setiap b ϵ R, b ≠ I maka b-1 ϵ R,
sehingga
b • b-1 = b-1 • b = i
Maka :
I
• b-1 =
I..................(a • b = I)
(a
• b ) • b-1 =
I..................Sifat Asosiatif
a
• (b • b-1) =
I..................Sifat Identitas
a
• i =
I..................Sifat i (Teorema 1)
a =
I..................Sifat i (Teorema 1)
Sehingga
b ≠ I dan a • b = I maka a = I
Jadi
jika a • b = I maka a = I atau b = I berakibat R TPN.
TEOREMA 16:
“Suatu
integral domain terhingga adalah field.”
BUKTI:
Integral
Domain adalah Ring Komutatif dan memiliki elemen satuan yang tidak mempunyai
pembagi nol.
Field
adalah Ring Komutatif dan memiliki
elemen satuan terhadap operasi kedua dan setiap unsur memiliki invers terhadap operasi kedua kecuali unsur
identitas operasi pertama.
D ⃰⃰ = { a • x | x ϵ D, x ≠ I }
a
• x = a • y Þ x = y
Adib
: a • x = i Þ a = x-1 atau x = a-1
a
• x = i
a-1
• (a • x ) = a-1 •
i..................Dioperasikan dengan a invers
(a-1
• a) • x ) = a-1 •
i..................Sifat Asosiatif
i
• x = a-1 •
i..................Sifat Identitas
x = a-1
TEOREMA 17:
Diberikan
R ring dan S suatu himpunan bagian tak kosong dari R. Maka S merupakan subring
dari R bila dan hanya bila syarat berikut dipenuhi :
Untuk
a,b∈R
, ab ∈S
dan a-b ∈S.
BUKTI:
Bila
S merupakan subring dari ring R, berarti S adalah ring terhadap kedua operasi
dari R. Maka dipenuhi : 1). Untuk setiap a,b ∈S, ab∈S. 2). Untuk setiap a,b ∈S, a+b ∈S 3). Untuk setiap a ∈S, -a ∈S
TEOREMA 18:
Diberikan
F = M (R) melambangkan himpunan semua fungsi f : R → R. Diberikan (f+g) (x) =
f(x) + g(x) ; untuk setiap x∈R.
(fg)
(x) = f(x) g(x) ; untuk setiap x ∈R.
BUKTI:
Dapat
dibuktikan bahwa M(R) dengan kedua operasi tersebut merupakan ring. Misalkan
terdapat S yang merupakan himpunan dari semua f∈F sedemikian sehingga f(1) = 0. Maka S adalah subring
dari F. Karena memenuhi definisi subring. Himpunan S tak kosong karena 0F∈S. Karena 0F(x) = 0
untuk setiap x∈R.
Demikian juga 0F(1) = 0 maka 0F∈S. Dan jika f dan g elemen dalam S maka
(f+g)(1)
= f(1) + g(1) = 0 + 0 = 0 (fg) (1) = f(1)g(1) = 0.0 = 0 Berarti f+g dan fg
dalam S. Akhirnya, jika f(1) = 0 maka (-f)(1) = -f(1) = -0 = 0. Hal tersebut
berarti, negatif dari setiap elemen S juga berada dalam S.
TEOREMA 19:
a) Jika a dalam A dan a mempunyai invers
maka a bukan pembagi nol.
b) Jika A field maka A daerah integral.
BUKTI:
a.
Misalkan ab = 0
Karena
a mempunyai invers maka dengan mengalikan kedua ruas dengan a-1 diperoleh
a-1 (ab) = a-1 0
(a-1
a)b = 0
1
. b = 0
B
= 0
Dengan
cara yang sama, ba = 0 mengakibatkan b = 0.
Oleh
karena itu, a bukan pembagi nol.
b.
Karena setiap field
merupakan ring komutatif dengan angngota satuan makatinggal dibuktikan bahwa
dalam field tidak terdapat pembagi
nol.Karena setiap anggota field yang tidak nol mempunyai invers maka dengan
mengingat sifat (1) sebarang field tidak mengandung pembagi nol.
Berarti
setiap field merupakan suatu daerah integral.
TEOREMA 20:
Diketahui
D daerah integral dan a, b dan c anggota dalam D dengan a ≠ 0.
Sifat
– sifat berikut ini berlaku :
1. Jika ab = ca maka b = c (kanselasi kiri).
2. Jika ba = ca maka b = c (kanselasi
kanan).
3. Persamaan ax + b = 0 dengan x tidak
diketahui paling banyak mempunyai satu penyelesaian.
BUKTI:
1.
Karena ab = ac
mengakibatkan ab – ac = 0 sehingga a(b-c) = 0. Karena a tidak nol dan dalam D
tidak ada pembagi nol sejati makla b – c = 0 atau b = c.
2.
Analog dengan (1)
(Untuk latihan). Misalkan s dan t merupakan anggota D yang merupakan
penyelesaian dari persamaan ax + b = 0. Akibatnya as + b = at + b atau as = at.
Dengan menggunakan kanselasi kiri diperoleh s = t.
Meskipun
teorema tersebut di atas dinyatakan berlaku pada daerah integral tetapi
sebenarnya juga berlaku pada sebarang ring yang tidak mempunyai pembagi nol
sejati. Persamaan ax + b = 0 tidak perlu mempunyai suatu penyelesaian dalam Z
tetapi bila a dan b anggota suatu field dana tidak nol maka teorema berikut ini
menjamin adanyapersamaan ax + b = 0.
Baca Juga Postingan Lain Dari Blog Ini !!
Kumpulan Critical Book Report [Tersedia >50 Jenis CBR]
Critical Journal Report [Tersedia > 40 Jenis]
Contoh Laporan Mini Riset [Tersedia >25 Jenis]
Kumpulan Makalah Berbagai Jenis Tema [Tersedia >100 Jenis]
