SEMIGRUP DAN MONOID
Semigrup dan Monoid
Telah
kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi
biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya dengan satu operasi biner
saja dan tanpa syarat apa-apa, yang merupakan struktur aljabar yang paling
sederhana.
Dalam
sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar dengan satu operasi
biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat tertutup dan assosiatif dari
operasinya.
Definisi 3.1:
Suatu
grupoid (G, +) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika memenuhi
syarat-syarat:
1.
(G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2.
Assosiatif terhadap penjumlahan
Contoh 3.1 :
Grupoid
bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R,
merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambing (N,+), (Z,+), (Q,+) dan
(R,+).
Definisi 3.2 :
Suatu
grupoid (G, .) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi
syarat-syarat :
1.
(G, .) tertutup terhadap perkalian
2.
Assosiatif terhadap perkalian
Contoh 3.2 :
Grupoid
bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan R,
merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk bilangan
asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional dan (R, .)
bilangan real.
Contoh 3.3 :
Misalkan
himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner a * b = a + b +
ab. Tunjukkan bahwa (N, *) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian :
1. Tertutup
Misalkan
a,b N
a
* b = a + b + ab N
maka
a * b tertutup terhadap bilangan asli N.
2. Assosiatif
Misalkan
a,b,c N
(a
* b) * c = (a + b + ab) * c
=
(a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
=
a + b + ab + c + ac + bc + abc
a
* (b * c) = a * (b + c + bc)
=
a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
=
a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka
a,b,c N berlaku a * b) * c = a * (b * c)
Jadi,
(N, *) yang didefinisikan a * b = a + b + ab merupakan suatu semigrup.
Contoh 3.4 :
Misalkan
suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley sebagai berikut:
Table 3.1
Daftar
Cayley suatu grupoid
. a b c d
a b c d a
b d a b c
c a b c d
d c d a b
Tunjukkan
apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.
Penyelesaian :
Akan
ditunjukkan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.
Misalkan
x =a, y = a dan z = a
(x
. y) . z = (a . a) . a
=
b . a
=
d
x
. (y . z) = a . (a . a)
=
a . b
=
c
Didapat
(x . y) . z = d dan x . (y . z) = c
Sehingga
(x . y) . z x. (y . z)
Jadi grupoid tersebut
bukan merupakan suatu semigrup.
Suatu
semigrup yang memiliki unsure satuan atau identitas dinamakan sebuah monoid,
dijelaskan pada definisi berikut ini :
Definisi 3.3 :
Suatu
grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika memenuhi
syarat-syarat:
1.
(G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2.
Assosiatif terhadap penjumlahan
3.
Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan.
Dengan
kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur satuan atau
identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.
Contoh 3.5 :
Grupoid-grupoid
bilangan bulat (Z, +), bilangan rasional (Q,+) dan bilangan (R,+), merupakan
monoid-monoid karena selain kesemuanya memiliki sifat assosiatif, kesemuanya
juga memiliki unsur satuan atau identitas yaitu nol (0).
Definisi 3.4 :
Suatu
grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi syarat-syarat
:
1.
(G, .) tertutup terhadap perkalian
2.
Assosiatif terhadap perkalian
3.
Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian.
Dengan
kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur satuan atau
identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.
