OPERASI BINER PADA
HIMPUNAN
Definisi 2.3 :
Sifat-sifat Operasi Biner
Sebelum
membicarakan sifat-sifat operasi biner pada himpunan bilangan bulat, terlebih
dahulu akan diuraikan secara singkat mengenai himpunan bilangan bulat. Sudah
diterangkan sebelumnya bahwa himpunan semua bilangan bulat
{…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…} disimbolkan dengan Z. Untuk himpunan bagian dari Z yaitu
{…,-3,-2,-1} dan {0,1,2,3,…} berturut-turut merupakan himpunan semua bilangan
bulat negative dan himpunan semua Z- dan Z+. secara singkat dapat ditulis
sebagai berikut:
Z = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Z- = {…,-3,-2,-1}
Z+.=
{0,1,2,3,…}
Pada
himpunan bilangan bulat Z dikenal dua operasi baku penjumlahan/aditif (+) dan
perkalian/ multikatif (.).
Sebagaimana
telah diketahui setiap pasang bilangan bulat dapat ditambahkan (dijumlahkan)
maupun dikalikan, begitu pula setiap pasang bilangan rasional atau bilanagan
real. Ide penambahan atau perkalian akan didefinisikan secara lebih umum
sebagai operasi biner salam suatu himpunan, secara singkat akan dijelaskan
dalam definisi berikut:
Definisi 2.1:
Misalkan
S adalah suatu himpunan sebarang yang tak kosong, maka pemetaan S x S S disebut
operasi biner.
Misalkan
f suatu operasi biner dalam S, yaitu suatu pemetaan dari S x S ke S, dan
misalkan (a,b) S x S dengan f(a,b) c, maka ditulis a * b = c (dibaca a operasi
biner b sama dengan c). Jadi sesuai dengan konsep pemetaan, sesungguhnya
pasangan terurut (a,b) S x S dengan c, yang dinotasikan dengan (a,b) c.
Definisi 2.2:
Sifat
operasi biner (*) pada suatu himpunan bilangan bulat Z disimbolkan dengan
(Z,*).
1.
Tertutup
Misalkan
a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka a dan b tertutup
terhadap bilangan bulat Z bila a * b Z
2.
Komutatif
Misalkan
a,b Z maka a * b = b * a
3.
Assosiatif
Misalkan
a,b,c Z maka (a * b) * c = a * (b * c)
4.
Adanya unsur satuan atau identitas
Misalkan
a Z maka a * e = e * a = a
5.
Adanya unsure balikan atau invers
Misalkan
a Z maka a * a-1 = a-1 * a = e
Contoh 2.2 :
Misalkan
suatu himpunan yang tak kosong Z+ adalah himpunan bilangan bulat positif, didefinisikan
x * y = bila x y dan x * x = x untuk setiap x,y Z+. Tunjukan apakah operasi
binernya tertutup, komutatif dan assosiatif.
Penyelesaian
:
a. Tertutup
Misalkan
x = 2 dan y = 3
x
* y = 2 * 3 = 1
x
* x = 2 * 2 = 2
x
* y dan x * x tertutup terhadap Z+, sehingga x,y Z+
b. Komutatif
x,
y Z+, misalkan x = 2 dan y = 3
x
* y = 2 * 3 = =1
y
* x = 3 * 2 = = 1
x
* y = y * x komutatif
c. Assosiatif
x,
y,z Z+, misalkan x = 2 dan y = 3, z = 4
(x
* y) * z = (2 * 3)* 4 = * 4 = = 3
x
* (y * z) = 2 * (3 * 4) = 2 * = = 1
(x
* y) * z x * (y * z) tidak assosiatif
Dari
definisi sebelumnya mengenai operasi biner, bila operasi biner mempunyai satu
atau lebih operasi biner yang merupakan dasar-dasar Struktur Aljabar,
didefinisikan :
Definisi 2.3 :
Struktur
Aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu himpunan dengan satu atau lebih
operasi biner pada sistem aljabar tersebut.
Misalkan
S suatu himpunan yang dilengkapi dengan sekelompok Operasi biner * dan o, maka
S menjadi satu struktur aljabar dengan dua operasi biner yang dinotasikan
(S,*,o) atau (S,o,*)
Contoh 2.3 :
Himpunan
semua bilangan bulat Z terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan
suatu struktur aljabar, yang dinotasikan (Z, +, . )
Definisi 2.4 :
Grupoid
adalah suatu struktur aljabar yang mempelajari hanya satu operasi biner
(terhadap penjumlahan atau perkalian)
Contoh 2.4 :
Misalkan
S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x . y = y untuk setiap x,y S,
maka (S, . ) adalah merupakan grupoid.
Contoh 2.5 :
Misalkan
S adalah suatu himpunan tak kosong, didefinisikan x + y = y untuk setiap x,y S,
maka (S, + ) adalah merupakan grupoid.
Pada
sub bab selanjutnya akan dijelaskan secara lebih mendalam mengenai struktur
aljabar yang berupa grupoid terhadap penjumlahan dan perkalian.
2.2 Operasi Biner Terhadap Penjumlahan
Pada
sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner
terhadap penjumlahan yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau
(Z,+). Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z
tertutup terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, +) menyatakan bahwa
penjumlahan bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}
Definisi 2.5 :
Sifat
operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap penjumlah (Z, ) atau
(Z,+) adalah :
1. Tertutup
Misalkan
a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka penjumlahan a dan b
tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a + b Z
2. Komutatif
Misalkan
a,b Z maka a + b = b + a
3. Assosiatif
Misalkan
a,b,c Z maka (a + b) + c = a + (b + c)
4. Adanya unsur
satuan atau identitas
Misalkan
a Z untuk penjumlahan unsur satuan atau identitas e = 0 sehingga a + e = a + 0
= a dan e + a = 0 + a = a
5. Adanya unsur
balikan atau invers
Misalkan
a Z untuk penjumlahan unsur balikan atau invers dari a adalah (-a), sehingga a
+ (-a) = a – a = 0 = e dan (-a) + a = -a + a = 0 = e
Contoh 2.6 :
Buatlah
table operasi biner Z5 = {0, 1, 2, 3, 4} terhadap penjumlahan (Z5, +} dan
tunjukkan sifat-sifat dari operasi binernya.
Penyelesaian:
Terlebih
dahulu kita definisikan operasinya:
0
+ 3 = 3 0
+ 4 = 4
1
+ 3 = 4 1
+ 4 = 0
2
+ 3 = 0 2
+ 4 = 1
3
+ 3 = 1 3
+ 4 = 2
4
+ 3 = 2 4
+ 4 = 3
setelah
itu kita buat table operasi biner dari (Z5,+)
Tabel 2.2
Operasi
biner (Z5,+)
+ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
Untuk
mengetahui sifat-sifat penjumlahan operasi binernya dapat dilihat dari table:
a. Tertutup
Ambil
sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5
2
+ 3 = 0, karena hasilnya 0 Z5, maka tertutup terhadap Z5
b. Komutatif
Ambil
sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 dan 3 Z5
2
+ 3 = 0
3
+ 2 = 0
sehingga
2 + 3 = 3 + 2 = 0
maka
Z5 komutatif
c. Assosiatif
Ambil
sebarang nilai dari Z5, misalkan 2,3 dan 4 Z5
(2
+ 3 ) + 4 = 0 + 4 = 4
2
+ (3 + 4) = 2 + 2 = 4
sehingga
(2 + 3 ) + 4 = 2 + (3 + 4) = 4
maka
Z5 assosiatif
d. Adanya unsur
satuan atau identitas
Ambil
sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5
2
+ e = 2 + 0 = 2
2
+ e = 0 + 2 = 2
sehingga
2 + e = 2 + e = 2
maka
Z5 ada unsur satuan atau identitas
e. Adanya unsure
balikan atau invers
Ambil
sebarang nilai dari Z5, misalkan 2 Z5
2
+ (-2) = 2 – 2 = 0 = e
(-2)
+ 2 = -2 + 2 = 0 = e
sehingga
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 = e
maka
Z5 ada unsur balikan atau invers.
2.3 Operasi Biner Terhadap Perkalian
Pada
sub pokok bahasan ini, akan dijelaskan definisi dan contoh dari opersi biner
terhadap perkalian yang merupakan grupoid, dismbolkan dengan (Z, ) atau (Z,.).
Misalkan Z6 = {0,1,2,3,4,5} ini menyatakan bahwa bilangan bulat Z tertutup
terhadap {0,1,2,3,4,5}dan (Z6, ) atau (Z6, .) menyatakan bahwa perkaliann
bilangan bulat Z tertutup terhadap Z6 = {0,1,2,3,4,5}
Definisi 2.6 :
Sifat
operasi biner pada himpunan bilangan bulat Z terhadap perkalian (Z, ) atau
(Z,.) adalah :
1. Tertutup
Misalkan
a dan b adalah suatu anggota himpunan tak kosong, maka perkalian a dan b
tertutup terhadap bilangan bulat Z bila a . b Z
2. Komutatif
Misalkan
a,b Z maka a . b = b . a
3. Assosiatif
Misalkan
a,b,c Z maka (a . b) . c = a . (b . c)
4. Adanya unsur
satuan atau identitas
Misalkan
a Z untuk perkalian unsur satuan atau identitas e = 1 sehingga a . e = a . 1 =
a dan e . a = 1+a=a
5. Adanya unsur
balikan atau invers
Misalkan
a Z untuk perkalian unsur balikan atau invers dari a adalah
(a-1)=
, sehingga a + (a-1) = a . = 1 = e dan a-1 . a= .a = 1 = e
Contoh 2.7 :
Buatlah
table operasi biner A = {a1, a2, a3 ,a4 ,a5} terhadap perkalian (a, .) dan
tunjukkan sifat-sifat dari opersi binernya.
Penyelesaian :
Terlebih
dahulu kita definisikan operasinya:
a1
. a2 = a3
a2
. a2 = a4
a3
. a2 = a5
a4
. a2 = a1
a5
. a2 = a2
setelah
itu kita buat table operasi biner dari (A, .)
Tabel 2.3
Operasi
biner (A,+)
. a1 a2 a3 a4 a5
a1 a2 a3 a4 a5 a1
a2 a3 a4 a5 a1 a2
a3 a4 a5 a1 a2 a3
a4 a5 a1 a2 a3 a4
a5 a1 a2 a3 a4 a5
Untuk
mengetahui sifat-sifat perkalian operasi binernya dapat dilihat dari table:
a. Tertutup
Ambil
sebarang nilai dari A,
misalkan
a1 dan a2 A
a1
. a2 = a3
karena
hasilnya a3 A, maka tertutup terhadap A
b. Komutatif
Ambil
sebarang nilai dari A
misalkan
a1 dan a2 A
a1
. a2 = a3
a2
. a1 = a3
sehingga
a1 . a2 = a3 = a2 . a1 = a3
maka
A komutatif
c. Assosiatif
Ambil
sebarang nilai dari A
misalkan
a1 , a2 dan a3 A
(a1
. a2 ) . a3 = a3 . a3 = a1
a1
. (a2 . a3 )= a1 . a5 = a1
sehingga
(a1 . a2 ) . a3 = a1 . (a2 . a3 )= a1
maka
A assosiatif
d. Adanya unsur
satuan atau identitas
Ambil
sebarang nilai dari A
misalkan
a1 A
a1
. e = a . 1 = a
e
+ a1 = 1 . a = a
sehingga
a1 . e = e + a1 = a
maka
A ada unsur satuan atau identitas
e. Adanya unsur
balikan atau invers
Ambil
sebarang nilai dari A, misalkan a1 A
a1.
a-1= a . = 1
a-1
. a1 = . a= 1
sehingga
a1. a-1= a-1 . a1 = 1 = e
maka
A ada unsur balikan atau invers.
Masih
ada beberapa hal lagi yang dapat kita katakana mengenai grupoid terhadap
perkalian.Misalkan kita ambil grupoid dari himpunan semua bilangan bulat
yaitu(Z, .).Dalam grupoid tersebut kita tahu jika ab = ac maka b = c dimana a
0,sifat ini dinamakan hukum pencoretan kiri bila ba = ca maka b = c dimana a
0,maka sifat ini dinamakan hukum pencoretan kanan.
Definisi 2.7 :
Sebuah
grupoid S dikatakan memenuhi hokum pencoretan kiri jika kesamaan ab =ac
mengakibatkan b = c,dimana a 0
Definisi 2.8 :
Sebuah
grupoid S dikatakan memenuhi hukum pencoretan kanan jika kesamaan ba = ca
mengakibatkan b = c,dimana a 0.
Definisi 2.9:
Himpunan
semua bilangan bulat tak nol merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian
yang memenuhi hokum pencoretan.
Definisi 2.10:
Himpunan
semua bilangan asli merupakan grupoid komutatif terhadap perkalian yang
memenuhi hokum pencoretan.
2.4 Bilangan Bulat Modulo n
Telah
dikemukakan, untuk memahami topik-topik yang ada pada struktur aljabar
diperlukan suatu contoh sebagai model. Model yang paling mudah dipahami adalah
bilangan bulat. Pada bagian ini dibicarakan lebih lanjut tentang bilangan bulat
yaitu tentang algoritma pembagian bilangan bulat dan bilangan bulat modulo n
dengan menggunakan prindip kongruensi.
Teorema 2.1 : (Algoritma Pembagian)
Misalkan
a, b Z dan b 0, maka terdapat q, r Z demikian sehingga a = bq + r, dengan 0 r
< . Bilangan bulat q dan r ditentukan secara tunggal oleh a dan b yang
diperlukan. Selanjutnya a disebut bilangan yang dibagi, b disebut pembagi, q disebut
hasil bagi, dan r disebut sisa.
Definisi 2.9:
Misalkan
a, b Z, b dikatakan membagi a, dinotasikan b / a, jika terdapat q Z yang
memenuhi a = bq, b disebut pembagi a atau factor dari a. sebaliknya b tidak
membagi a, dinotasikan b a, jika tidak terdapat q Z yang memenuhi a = bq.
Contoh 2.10:
4|
8, 4 dikatakan pembagi 8, sebab 8 = 4 . 2
Contoh 2.11:
3
╪ 8, 3 dikatakan bukan pembagi 8,
sebab tidak terdapat q Z yang memenuhi 8 = 3q dengan kata lain 8 3q untuk
sebarabg q Z.
Berdasarkan
algoritma pembagian bilangan bulat, untuk a, n Z dimana n 0, terdapat q,r Z
demikian sehingga a = nq + r, dengan 0 r < . Dalam hal ini dapat ditulis a –
r = nq, sehingga dapat dikatakan n membagi a – r, dan dikatakan a dan r
kongruen modulo n, ditulis :
a
= r (mod n)
secara
eksplisit dua bilangan bulat a dan b kongruen modulo n didefinisikan sebagai
berikut:
Definisi 2.10:
Misalkan
a,b,c Z dan n 0, bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, ditulis a
= r(mod n), jika membagi (a – b).
Contoh 2.12:
8
2 (mod 3) merupakan kongruen modulo n, karena 8 – 2 = 2 . 3
Contoh 2.13:
9
2 (mod 3) bukan merupakan kongruen modulo n, karena 9 – 2 2.3
