b. Grup
Permutasi
Suatu pemutasi dari n unsur adalah
suatu fungsi bijektif dari himpunan n unsure kehimpunan itu sendiri.
Untuk memudahkan digunakan bilangan
bulat (1, 2, 3, …, n) untuk menyatakan himpunan n unsur.
Permutasi disajikan :
Contoh
5.6 :
Misalkan pemutasi pada himpunan
permutasi-permutasi dari bilangan-bilangan bulat (1, 2, 3, 4, 5) sehingga (1)
= 2, (2) = 1, (3) = 4, (4) = 5, (2) = 3.
Ditulis permutasi ini :
Jika dan adalah dua permutasi, maka
hasil kali dari dan di definisikan (i) = ((i)) untuk setiap i = 1, 2,
3, …, n( yaitu kali , berarti pertama kita mengerjakan permutasi kemudian
mengerjakan permutasi pada hasil kalinya).
Definisi
5.6:
Misalkan A adalah suatu himpunan
berhingga ari S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari himpunan A pada
dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan grup permutasi.
Jadi permutasi dari A jika dan
hanya jika S(A) dan himpunan A berhingga. Sebarang himpunan
permutasi-permutasi yang membentuk grup disebut grup permutasi. Grup dari semua
permutasi dari himpunan n unsur disebut grup simetris berderajat n dan
dinyatakan dengan (n, o). Order dari n, adalah n! dan bila n > 2 dimana n bilangan
bulat positif, maka n tidak komutatif.
Contoh
5.8:
Orde grup 2 adalah 2! = 2, sehingga
2 =
Contoh
5.9:
Orde grup ari 3 adalah 3! = 6,
sehingga 3 = {0, 1, 2, 1, 2, 3}, dimana :
0 = dan 1 =
1 = dan 2 =
2 = dan 3 =
Diperoleh tabel komposisi dari grup
ini :
Tabel
5.1.
komposisi
grup simetris 3
O 0 1 2 1 2 3
0 0 1 2 1 2 3
1 1 2 0 3 1 2
2 2 0 1 2 3 1
1 1 2 3 0 1 2
2 2 3 1 2 0 1
3 3 1 2 1 2 0
Grup tersebut tidak komutatif/abelian,
dapat dibuktikan bahwa grup yang sebayak-banyaknya terdiri dari 5 unsur yang
abelian. Sedangkan 3 terdiri dari 6 unsur, sehingga 3 merupakan suatu contoh
grup tidak abelian dengan unsure terkecil.
Perhatikan segitaga sama sisi dengan
titik sudut 1, 2, 3. unsur-unsur 0, 1, 2 dapat ditafsirkan rotasi searah
jarum jam dari segitiga sama sisi meneglilingi titik berat bidang.
sebelum rotasi sesudah rotasi
0 : rotasi 00 (3600)
1 : rotasi 1200
2 : rotasi 2400
sebelum pencerminan sesudah pencerminan
0 : pencerminan
terhadap garis bagi 1
1 : pencerminan
terhadap garis bagi 2
2 : pencerminan
terhadap garis bagi 3
Oleh karena alas an ini, 3 juga
disebut grup simetris segitiga sama sisi dengan lambing D3 yang berarti grup
dihedral ketiga. Grup dihedral ke-n dengan notasi D3 adalah grup simetris segi
n yang beraturan.
Definisi
5.7:
Bila a1 adalah unsur-unsur yang
berbeda dari {1, 2, 3, ,…, n}, permutasi n yang didefinisikan oleh:
(a1) = a2, (a2) = a3, …, (ar-1) =
ar, (ar) = a1
dan (x) = x bila x {a1, a2, …,
ar} disebut siklus dari r unsur atau siklus-r.
c. Homomorfisma
Sering kita jumpai adanya dua grup
yang memiliki struktur yang sama, seperti pada grup multikatif (perkalian) dari
himpunan bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup dari matriks-matriks
terhadap perkalian matriks, yang memiliki daftar cayley yang sama atau identik.
Jika himpunan bilangan kompleks kita
misalkan sebagai himpunan {e, a, b, c} dan grup dari matriks-matriks kita
misalkan sebagai himpunan {E, A, B, C}, maka daftar cayley dapat kita buat
seperti pada tabel 5.2 dan 5.3.
Tabel
5.2.
Daftar
cayley {e, a, b, c}
. E a b c
e e a b c
a a e c b
b B c a e
c C b e a
Tabel
5.3.
Daftar
cayley {E, A, B, C}
. E A B C
E E A B C
A A E C B
B B C A E
C C B E A
Dari tabel 5.2. dan 5.3. dapat kita
lihat adanya perpadanan satu-satu (1 – 1) antata unsur-unsur dari grup empat
bilangan kompleks {1, -1, i, -i} dan grup matriks sedemikian hingga jika x
perpadanan dengan x’ dan y perpadanan dengan y’ maka xy berpadanan dengan x’y’,
dikatakan perpadanan tersebut sebagai mengawetkan hasilkali.
Dapat disimpulkan dari daftar cayley
bahwa kedua grup tersebut struktur-strukturnya memiliki sifat yang sama atau
identik, yang dinamakan isomorfik.
Definisi
5.8:
Bila (S, .) dan (T, .) adalah
merupakan dua grup, maka fungsi : S T disebtu homomorfisma grup, bila :
(a.b) = (a) . (b), a, b S
bila grupgrup-grup tersebut memiliki
operasi berbeda, misalnya (S,*) dan (T,o), maka fungsi : (S,*) (T,o)
disebtu homomorfisma grup, bila :
(a * b) = (a) o (b), a, b S
Ada beberapa definisi khusus
mengenai homorfisma adalah sebagai berikut :
Definisi
5.9:
a. Monomorfisma adalah suatu
homomorfisma grup yang injektif
b. Epimorfisma adalah suatu
homomorfisma grup yang surjektif
c. Isomorfisma adalah suatu
homomorfisma grup yang bijektif
Definisi
5.10:
Suatu homomorfisma dari suatu grup
ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu endomorfisma dan suat endomorfisma
yang bijektif dinamakan automorfisma.
Contoh
5.12:
Misalkan (Z, +) adalah grup
penjumlahan dari semua bilangan bulat. Tunjukkan bahwa (Z, +) yang
didefinisikan pemetaan : Z Z adalah (x) = 2x, x Z, adalah suatu
Homomorfisma.
Penyelesaian
:
Akan ditunjukkan sifat dari
Homomorfisma:
Misalkan x,y Z, maka :
(x + y) = 2 (x + y)
= 2x + 2y
(x + y) = (x) + ( y)
Sehingga adalah suatu
Homomorfisma.
Dalam hal ini Homomorfisma
merupakan suatu Endomorfisma karena daerah kawan (kodomain) sama dengan daerah
asal (domain), dengan kata lain pemetaan itu dari suatu Grup ke dalam dirinya
sendiri.
5.4
Rangkuman
1). Grup (G, .) disebut siklik, bila
ada elemen a G sedemikian hingga G = {an │n Z}. Grup (G, +) disebut siklik,
bila ada elemen a G sedemikian hingga G={na │n Z}. Elemen a disebut generator
dari Grup Siklik tersebut.
2).
Misalkan (G,*)
adalah suatu Grup dan a G, maka generator a yang membangun suatu subgroup [a]
dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.
3).
Misalkan A adalah
suatu himpunan berhingga dan S(A) adalah himpunan semua pemetaan bijektif dari
himpunan A pada dirinya sendiri, maka komposisi pemetaan adalah merupakan Grup
Permutasi.
4).
Bila a1,a2,…ar
adalah unsure-unsur yang berbeda dari {1,2,3,…,n}, permutasi n yang
didefinisikan oleh :
(a1) = a2, (a2) = a3,…, (ar-1)
= ar, (ar) = a1
Dan (x) = x bila x { a1,a2,…ar}
disebut suatu siklus dari r unsure atau siklus-r
5).
Suatu pemetaan :
S T dari Grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
(a . b) = (a) . (b), a, b S
Suatu pemetaan : (S,*) (T,o) dari
grup G ke Grup T disebut Homomorfisma Grup, bila :
(a * b) = (a) o (b), a, b S
6). Suatu Homomorfisma Grup yang
injektif disebut Monomorfisma, suatu Homomorfisma Grup yang surjektif disebut
Epimorfisma, dan suatu Homomorfisma Grup yang bijektif disebut Isomorfisma.
7). Suatu Homomorfisma dari suatu Grup
ke dalam dirinya sendiri dinamakan suatu Endomorfisma dan suatu Endomorfisma
yang bijektif dinamakan Automorfisma.
