Grup Siklik
Pada sub pokok bahasan ini akan
dijelaskan suatu orde dari suatu grup yang setiap unsurnya dapat ditulis
sebagai perpangkatan (positif atau negatif) atau perkalian dari suatu unsure
tetap dari grup tersebut. Grup yang seperti ini dinamakan grup siklik.
Definisi
5.1: (Terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada
elemen a G sedemikian hingga G = {an n Z}. elemen a disebut generator
dari grup siklik tersebut.
Definisi
5.2: (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada
elemen a G sedemikian hingga G = {na n Z}.
Definisi
5.3:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan
a G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dinamakan subgroup
siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan subgroup
siklik yaitu suatu grup yang dibangkitkan oleh suatu unsur.
Definisi
5.4:
Misalkan (G,*) adalah suatu grup dan
a G, maka generator a yang membangun suatu subgrup [a] dimana [a] = G, maka
subgroup tersebut dinamakan grup siklik.
Dengan kata lain, grup siklik adalah
subgroup yang unsure-unsurnya merupakan unsur-unsur dari grup itu sendiri.
Suatu grup siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga
beranggotakan tak hingga unsur-unsur.
Grup siklik yang beranggotakan
banyaknya unsure terhingga dinamakan grup siklik berhingga dan grup siklik yang
beranggotakan banyaknya unsure tak terhingga dinamakan grup siklik tak hingga.
Contoh
5.1:
Misalkan G = {-1,1} adalah suatu
grup terhadap operasi perkalian (G, .). Tentukan grup siklik dari grup
tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari G = {-1,1} adalah -1
dan 1
[-1] =
{(-1)n n Z }
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {-1, 1}
[1] = {(1)n n Z }
= {(1)0, (1)1, (1)2,…}
= {1}
Generator -1 adalah membangun suatu
grup siklik, sehingga:
[-1] = {-1, 1}
Generator 1 adalah membangun grup
siklik, sehingga:
[1] = {1}
Contoh
5.2:
Misalkan G = {0, 1, 2, 3} adalah
suatu grup terhadap penjumlahan (G,+). Tentukan grup siklik dari grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari G = {0, 1, 2, 3}
adalah 0, 1, 2, 3
[0] =
{n(0) n Z}
= {0}
[1] =
{n(1) n Z}
= {0.1, 1.1, 2.1, 3.1, …}
= {0, 1, 2, 3}
[2] = {n(2) n Z}
= {0.2, 1.2, 2.2, 3.2,
…}
= {0, 2}
[3] =
{n(3) n Z}
= {0.3, 1.3, 2.3, 3.3,
…}
= {0, 3, 2, 1}
generator 1 dan 3 adalah membangun
suatu grup siklik, sehingga :
[1] = [3] = {0, 1, 2, 3}
generator 0 dan 2 adalah membangun
subgroup siklik, sehingga :
[0] = {0}
[2] = {0, 2}
Contoh
5.3:
Grup (Z,+) merupakan grup siklik tak
hingga yang dibangun oleh 1.
Penyelesaian:
[1] = {…, -2.1, -1.1, 0.1, 1.1, 2.1, …}
= {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Jadi, 1 merupakan generator yang
membentuk grup siklik tak hingga.
Contoh
5.4:
Misalkan I4 = {1, -1, i, -i} adalah
grup bilangan kompleks terhadap perkalian (I4, .). tentukan grup siklik dari
grup tersebut.
Penyelesaian:
Generator dari I4 = {1, -1, i, -i}
adalah 1, -1, i, dan –i
[1] = {(1)n n Z }
= {(1)0, (1)1, (1)2,…}
= {1}
[-1] = {(-1)n n Z }
= {(-1)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {-1, 1}
[i] = {(i)n n Z }
= {(i)0, (i)1, (i)2, (i)3, (i)4…}
= {1, i, -1, i}
[-i] = {(-i)n n Z }
= {…, (-i)-2, (-i)-1(-i)0, (-1)1, (-1)2,…}
= {1, -i, i, -1}
generator i dan –i adaalh membangun
suatu grup siklik, sehingga :
[i] = [-i] = {1, -1, i, -i}
generator 1 dan -1 adalah membangun
subgroup siklik, sehingga :
[1] = {1}
[-1] = {1, -1}
Teorema
5.1:
Setiap grup siklik adalah grup
abelian.
Bukti:
Misalkan (G, .) merupakan grup
siklik dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {(a)n n Z }.
Ambil x, y G, sehingga x = am dan
y = an , untuk m, n Z.
x . y = am . an = am+n = an+m = an .
am = y . x
Jadi, (G, .) merupakan grup
komutatif.
Misalkan (G,+) merupakan grup siklik
dan a merupakan pembangun dari G, sehingga G = {na n Z }.
Ambil x, y G, sehingga x = na dan
y = ma, untuk m, n Z.
x + y = na + ma = (n + m)a = ma + na
= y + x
Jadi, (G,+) merupakan grup
komutatif.
Contoh
5.5:
Dari contoh 5.2, tunjukkan bahwa
grup siklik tersebut merupakan grup komutatif.
Penyelesaian:
Generator 1 dan 3 adalah membangun
suatu grup siklik dari grup G = {0, 1, 2, 3} terhadap penjumlahan (G,+).
Misalkan x, y G, sehingga x =na
dan y = ma, untuk m, n Z.
Ambil n = 1 dan m = 2, dan generator
a = 3
x + y = na + ma
= (n + m)a
= 1.3 + 2.3
= (1 + 2).3
= 3.3 = 1
y + x = ma + na
= (m + n)a
= 2.3 + 1.3
= (2 + 1).3
= 3.3 = 1
Jadi, grup siklik G = {0, 1, 2,
3}merupakan grup komutatif.
Baca Juga Postingan Lain Dari Blog Ini !!
Kumpulan Critical Book Report [Tersedia >50 Jenis CBR]
Critical Journal Report [Tersedia > 40 Jenis]
Contoh Laporan Mini Riset [Tersedia >25 Jenis]
Kumpulan Makalah Berbagai Jenis Tema [Tersedia >100 Jenis]
