Contoh Soal Ring Dan Pembahasan - Struktur Aljabar

Berkaitan dengan postingan sebelumnya mengenai Definisi Ring beserta Contoh Ring, maka pada postingan kali ini berisi tentang bahasan lanjutan Ring terkhusus pada bagian Contoh-Contoh Soal Ring Dan Penyelesaiannya. Berikut ini telah disajikan beberapa Contoh Soal Ring dan Penyelesaiannya. Dengan anda terbiasa mengerjakan soal-soal berikut yang berupa teorema dan pembuktian, maka dapat meningkatkan kemampuan /daya berpikir dan penalaran Anda.

Baca Juga!

➤ Kumpulan Teorema Ring Dan Pembuktiannya #Bagian 1

➤ Kumpulan Teorema Ring Dan Pembuktiannya #Bagian 2

➤ Definisi Ring Beserta Contoh-Contohnya

SOAL DAN PEMBAHASAN RING

Contoh 1:

Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif.

Jawab :

P = {3x|x ∈ Z }
Langkah pertama kita harus menunjukkan bahwa P grup komutatif terhadap operasi penjumahan.

1.       Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b ∈  P.
Perhatikan :
a+b = 3x + 3y = (x+x+x) + (y+y+y)
= (x+y) + (x+y) + (x+y)
= 3(x+y)
Karena x+y ∈  Z, maka a+b ∈  P

2.       Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a+b = b+a
Perhatikan:
a+b = 3x + 3y = 3(x+y)
= 3(y+    x)
= 3y + 3x
= b + a

3.       Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan (a+b)+c = a+(b+c)
Perhatikan:
a+(b+c) = 3x + (3y + 3z)
= 3x + 3(y+z)
=3(x+ (y+z))
= 3((x+y) + z)
= 3(x+y) + 3z
= (3x + 3y) + 3z
= (a+b) + c

4.       Perhatikan bahwa 0 < Z, pilih 3.0 = 0 < P.
Ambil sebarang a = 3x  P. Akan ditunjukkan 0 adalah unsur nol dalam P.
Perhatikan:
a + 0 = 3x + 3.0
= 3(x+0)
= 3x
= a
Ini berarti 0 unsur nol dalam P.

5.       Ambil sebarang a = 3x ∈  P. Pilih b = 3(-x) ∈  P. Akan ditunjukkan –(3x) = 3(-x)
Perhatikan:
3(x) + 3(-x) = 3(x+(-x))
= 3.0
= 0
Jadi –(3x) = 3(-x)

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P semigrup terhadap operasi perkalian.

1.       Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b ∈  P.
Perhatikan:
a .b = 3x . 3y
= 3. 3xy
= 3(3xy)
Karena 3xy ∈  Z, maka a.b ∈  P.

2.       Ambil sebarang a = 3x, b = 3y dan c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a.(b.c) = (a.b).c
Perhatikan:
a.(b.c) = 3x(3y . 3z)
= 3x(3(3yz))
= 3.3.3(x(yz))
= 3.3.3((xy)z)
= 3.3(xy) . 3z
= (3x . 3y). 3z
= (a.b). c

Langkah berikutnya menunjukkan bahwa P distributif perkalian terhadap penjumlahan.

1.         Ambil sebarang a = 3x, b = 3y, c = 3z ∈  P. Akan ditunjukkan a(b+c) = a.b + a.c dan (b+c)a = b.a + c.a
Perhatikan:
a(b+c) = 3x(3y + 3z)
= 3x(3(y + z))
= 3.3(x(y + z))
= 3.3(xy + xz)
= 3.3xy + 3.3xz
= a.b + a.c(b+c)a = (3y + 3z). 3x
= ((y+z)3). 3x
= ((y+z)x)3.3
= (yx + zx)3.3
= 3.3yx + 3.3zx
= 3y.3x + 3z.3x
= b.a + c.a

Langkah merikutnya menunjukkan bahwa P bersifat komutatif.

1.         Ambil sebarang a = 3x dan b = 3y ∈  P. Akan ditunjukkan a.b = b.a
Perhatikan:
a .b = 3x. 3y
= 3.3xy
= 3.3yx
= 3y. 3x
= b.a

Jadi P adalah gelanggang atau ring komutatif.

Contoh 2:

Untuk suatu bilangan bulat positif n, Zn bilangan bulat modulo n,membentuk sebuah ring dengan operasi Å dan Ä yang didefinisikan sebagai berikut : untuk [a],[b]ΠZn , [a] Å [b] = [a+b] dan [a] Ä [b]= [ab]. Dapat ditunjukkan bahwa Zn dengan Å merupakan grup Abelian dan Zn dengan Ä memenuhi sifat asosiatif.

Contoh 3:

Periksalah apakah himpunan E (himpunan semua bilangan bulat genap) adalah ring terhadap penjumlahan dan perkalian pada Z . 

Jawab :

Kita lihat apakah E memenuhi semua kondisi pada Definisi 1. Perhatikan bahwa bentuk dari bilangan genap adalah 2k. Kondisi 2, 5, 7 dan 8 dari Definisi 1 secara otomatis terpenuhi karena mereka berlaku pada ring Z, yang berisi ring E

1.       Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa 

x + y = 2m + 2n

1x + y   = 2 ( m + n )

1234567890x + y = 2k, dengan k = m + n

Jadi, x + y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah penjumlahan.

2.       Penjumlahan pada E adalah asosiatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

3.       E berisi identitas penjumlahan. Karena 2k + 0 = 0 + 2k = 2k.

4.       Untuk sebarang x = 2k pada E, invers penjumlahan pada x ada di E, karena 

- x = 2 ( - k )

5.       Penjumlahan pada E adalah komutatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

6.       Misalkan x ∈ E dan y ∈ E dengan x = 2m dan y = 2n dimana m dan n pada Z . Selanjutnya perhatikan bahwa 

x ∙ y = 2m ∙ 2n

∙ y = 4 m n

1 2x ∙ y = 2 ( 2 m n )

12345678901x ∙ y = 2k, dengan k = 2 m n

Jadi, x ∙ y ∈ E . Sehingga terbukti bahwa E tertutup dibawah perkalian.

7.       Perkalian pada E adalah asosiatif.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

8.       Dua hukum distributif pada Definisi 1 berlaku di E.

Kondisi ini secara otomatis terpenuhi karena kondisi ini berlaku pada ring Z, dimana ring Z berisi ring E.

Contoh 4:

Buktikan bahwa himpunan Zn = {0, 1, 2, . . ., n-1} merupakan ring.

Jawab :

Untuk membuktikan bahwa Zn merupakan ring dilakukan dengan cara menemukan suatu fungsi yang menyatakan relasi antara Zn dengan ring Z. Bila fungsi yang didapat tersebut mengawetkan operasi maka peta dari fungsi mermpunyai sifat-sifat yang sama dengan darah asal (domain) dari fungsi.

Misalkan f : Z → Zn dengan f (x) = r dan r merupakan sisa pembagian bila x di bagi n. Dalam contoh sudah dibuktikan bahwa f mengawetkan operasi +. Bila diambil sebarang x, y dalam Z maka:
x = nq1 + r1 dan y = nq2 + r2 untuk suatu q1, q2, r1 dan r2 dalam Z
sehingga:
xy = (nq1 + r1) (nq2 + r2 ) = n(nq1 + r1 + nq2 + r2) + r1 r2 dan r1 r2 dapat dinyatakan sebagai nq + r.

Akibatnya:
xy = n (n q1 q2 + q1 r2 + r1 q2 + q) + r.
Oleh karena itu, f (xy) = r dan f (x) f (y) = r1 r2 .
Dengan mengingat definisi perkalian dalam Zn maka , r1 r2 = r dan berarti f(xy) = f(x) f(y)
Karena f mengawetkan operasi penjumlahan dan penggandaan maka berakibat Zn ring

Contoh 5:

Bila didefinisikan Q(√2 ) = { a + b √2 │a, b dalam Q } maka akan dibuktikan bahwa Q(√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Karena Q himpunan yang tidak kosong maka jelas bahwa Q(√2 ) juga himpunan yang tidak kosong.
Terhadap operasi pergandaan bersifat
( a + b √2 ) ( c + d √2 ) = ( ac + 2bd ) + ( ad + bc ) √2
dan terhadap operasi pengurangan bersifat
( a + b ) √2 – ( c + d ) √2 = ( a – c ) + ( b – d ) √2
Karena ac + 2bd, ad + bc, a – c dan a – d tetap dalam Q maka hasil pergandaan dan hasi pengurangannya tetap dalam Q (√2 ).
Oleh karena itu Q (√2 ) merupakan ring bagian dari R.
Perlu dicatat bahwa Q (√2 ) similar dengan himpunan bilangan kompleks
C = { a + b i │a, b dalam R }
Karena bentuk a + b i analog dengan bentuk a + b√2 dan dalam hal ini ring Q ( √2 ) mengandung Q, seperti juga C mengandung R.

Baca Juga Postingan Lain Dari Blog Ini !!

Kumpulan Critical Book Report [Tersedia >50 Jenis CBR]

Critical Journal Report [Tersedia > 40 Jenis]

Contoh Laporan Mini Riset [Tersedia >25 Jenis]

Kumpulan Makalah Berbagai Jenis Tema [Tersedia >100 Jenis]

www.ilmuberprestasi.com